Zahlentheorie II

(Sommersemester 2013)
Aktuelle Informationen
Das Glossar ist online.
Kontakt: Steffen Koenig und Armin Shalile

Zeit und Ort
Vorlesungen:

Montag, 9:45-11:15 Uhr in V57.05.

Mittwoch, 9:45-11:15 Uhr in V57.04.

Uebungen:

Donnerstag, 11:30-13:00 Uhr (Raum V57.8.135).

Erste Vorlesung: Montag, 8. April 2013.
Erste Uebung: Donnerstag, 18. April 2013.

Inhalt:

Kapitel 1: Kettenbrüche.
Montag 8.4: Motivation: algebraische und transzendente Zahlen, beste Näherung. Euklidischer Algorithmus. Kettenbruch.
Mittwoch 8.4.: Näherungsbrüche. Konvergenz. Eindeutigkeit. Beispiel: goldener Schnitt.
Montag 15.4.: Kettenbruchdarstellung von e. Periodische Kettenbrüche.
Mittwoch 17.4.: Periodische Kettenbrüche und quadratisch irrationale Zahlen. Pellsche Gleichung.

Kapitel 2: Die Modulgruppe.
Montag 22.4.: Kettenbrüche, die bis auf Anfangsterme übereinstimmen. Äquivalenz reeller Zahlen. Die spezielle lineare Gruppe SL(2,Z) und die Modulgruppe Γ.
Mittwoch 24.4.: Erzeugende Elemente der Modulgruppe. Die obere Halbebene und Möbius-Transformationen. Γ als freies Produkt.
Montag 29.4.: Fundamentalbereich der Operation von Γ und 'Kettenbruchzerlegung' der oberen Halbebene.
Montag 6.5: Hyperbolische Geometrie.

Kapitel 3: Diophantische Approximation.
Montag 6.5.: Zahnradmodell des Sonnensystems. Näherungsbrüche als beste Näherungen.
Mittwoch 10.5.: Beste Näherungen als Näherungsbrüche. Ungleichungen. Approximationssatz von Liouville.
Mittwoch 15.5.: Beweis des Approximationssatzes. Konstruktion von transzendenten Zahlen. Kommentar zur weiteren Entwicklung (Thue, Siegel, Roth).

Kapitel 4: Gitter.
Montag 27.5.: Definition Gitter. Charakterisierung durch algebraische und topologische Bedingungen. Abelsche Gruppen. Elementarteilersatz (erste Version).
Mittwoch 29.5.: Beweis des Elementarteilersatzes. Elementarteilersatz (zweite Version).
Montag 3.6.: Untergruppen endlich erzeugter abelscher Gruppen sind endlich erzeugt. Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Beweis der Charakterisierung von Gittern.
Mittwoch 5.6.: Fortsetzung Beweis der Charakterisierung von Gittern. Determinante und Fundamentalparallotop eines Gitters.
Montag 10.6.: Duales Gitter. Ganzzahlig und unimodular. Positiv definite symmetrische Bilinearformen. Code, Codewort, Wortlänge, Binärcode. Beispiel Hamming-Code.
Mittwoch 12.6.: Gewicht, Hamming-Abstand, Minimalabstand. Informationsdichte. Linearer Code. Erzeugermatrix und Kontrollmatrix, Syndrom. Dualer Code. Doppelt gerader Binärcode.
Montag 17.6.: Automorphismengruppe. Gitter zu Binärcodes. Vergleich Eigenschaften von Codes und von Gittern.

Kapitel 5: Elliptische Kurven.
Mittwoch 19.6.: Holomorphe und ganze Funktionen. Laurentreihen. Hebbare Singularitäten, Pole und wesentliche Singularitäten. Meromorphe Funktionen. Elliptische Funktionen und der Torus.
Montag 24.6.: Ordnung einer elliptischen Funktion. Abbildungsverhalten.
Mittwoch 26.6.: Verzweigungspunkte. Die Weierstraßsche ℘-Funktion. Eigenschaften der ℘-Funktion.
Montag 1.7.: Abbildungsverhalten der ℘-Funktion. Halbwerte. Laurentreihe. Eisenstein-Reihen.
Mittwoch 3.7.: Der Körper der elliptischen Funktionen, erzeugt von ℘ und ℘'. Beispiel, algebraische Differentialgleichung der ℘-Funktion. Ebene affine Kurven.
Montag 8.7.: Projektive Räume, ebene projektive Kurven. Bijektion zwischen Torus und projektiver Kurve. Elliptische Kurven. Bemerkungen zum Kongruenzzahlproblem und zum grossen Satz von Fermat.
Mittwoch 10.7.: Addition auf elliptischen Kurven; analytische und geometrische Form des Additionstheorems (Skizze). Äquivalenz von Gittern.
Montag 15.7.: Äquivalenz von Gittern durch die Operation der Modulgruppe und durch Invarianten. Definition Modulform. Diskriminante Δ und absolute Invariante j. Bemerkung zu Mondschein. Bemerkung zum Struktursatz für Modulformen.
Mittwoch 17.7.: Thetareihen. Zählfunktion (erzeugende Funktion) bei Gittern. Thetareihen gerader unimodularer Gitter als Modulformen. Summen von vier und von acht Quadraten. Gewichtszähler bei Codes und Thetareihen von Gittern. Bemerkung zum Golay-Code und zu Kugelpackungen.

  • (für die Übung am 18.April 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 25.April 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 2.Mai 2013, korrigiert am 14.Mai) (pdf)
  • (für die Übung am 13.Mai 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 16.Mai 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 6.Juni 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 13.Juni 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 20.Juni 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 27.Juni 2013, korrigiert am 26.Juni) (pdf)
  • (für die Übung am 4.Juli 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 11.Juli 2013) (pdf)
  • (für die Übung am 18.Juli 2013) (pdf)


    • Glossar

    Glossar (Stand 19. Juli 2013) (pdf)

    Literatur:

    Die Vorlesung folgt keinem Buch direkt, daher ist die Hauptquelle und beste Referenz natürlich die eigene Mitschrift der Vorlesung. Liste mit Büchern, die zur Vertiefung und für weitere Beispiele dienen (deren Inhalt aber teils erheblich von dem dieser Vorlesung abweichen kann):

    - Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie.
    - Ivan Niven und Herbert Zuckerman, Einführung in die Zahlentheorie, I und II.
    - Godrey Hardy and Edward Wright, An introduction to the theory of numbers.
    - William Coppel, Number Theory. An introduction to mathematics.
    - John Conway and Neil Sloane, Sphere packings, lattices and groups.
    - Wolfgang Ebeling, Lattices and Codes.
    - Eberhard Freitag und Rolf Busam, Funktionentheorie.
    - John Conway, The sensual (quadratic) form.
    - Serge Lang, Introduction to modular forms.
    - Max Koecher und Aloys Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen.

    Die ersten drei Kapitel der Vorlesung werden bei Bundschuh, sowie bei Niven und Zuckerman, Hardy und Wright, und Coppel behandelt, die Kapitel vier und fünf in den anderen Büchern, wobei die Behandlung der elliptischen Funktionen dem Buch von Freitag und Busam folgt.


    Letzte Änderung 10.10.12